Calculadora de ecuaciones: segundo grado y sistemas 2×2
Resuelve ecuaciones de segundo grado (discriminante, raíces reales o complejas, vértice y factorización) y sistemas de dos ecuaciones con el método de Cramer, con los pasos explicados.
Ecuación de segundo grado: ax² + bx + c = 0
Sistema 2×2: a₁x + b₁y = c₁ · a₂x + b₂y = c₂
Resultado
Cómo se calcula
Ecuación de segundo grado. Se usa la fórmula general x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. El discriminante D = b² − 4ac decide el tipo de soluciones: si D > 0 hay dos raíces reales distintas; si D = 0, una raíz doble; si D < 0, dos raíces complejas conjugadas. El vértice de la parábola está en x = −b / 2a. Cuando las raíces son enteras o fracciones simples, la ecuación se puede escribir factorizada, por ejemplo x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Sistemas 2×2 por Cramer. Con D = a₁b₂ − a₂b₁, si D ≠ 0 la solución única es x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D e y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D. Si D = 0, el sistema no tiene solución única: las rectas son paralelas (sin solución) o la misma recta (infinitas soluciones).
Ejemplos: x² − 5x + 6 = 0 tiene raíces x = 2 y x = 3 y vértice en (2,5; −0,25); x² + 1 = 0 tiene raíces complejas ±i; el sistema 2x + 3y = 8, x − y = 1 se resuelve con x = 2,2 e y = 1,2.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si el discriminante es negativo?
La ecuación no tiene soluciones reales: sus raíces son dos números complejos conjugados, por ejemplo x² + 1 = 0 da x = i y x = −i. La calculadora los muestra en la forma a ± bi.
¿Qué es el vértice de la parábola?
Es el punto más bajo (o más alto) de la parábola: su coordenada x es −b / 2a y la y se obtiene sustituyendo ese valor en la ecuación. Si a es positivo, el vértice es un mínimo; si a es negativo, un máximo.
¿Cuándo un sistema 2×2 no tiene solución?
Cuando el determinante D = a₁b₂ − a₂b₁ es cero. Entonces las rectas son paralelas (ninguna solución) o coinciden (infinitas soluciones); la calculadora lo detecta comparando también los demás determinantes.
¿Sirve también para ecuaciones de primer grado?
Sí: si escribes a = 0, la herramienta resuelve la ecuación lineal bx + c = 0 con x = −c / b, siempre que b no sea cero.
¿Por qué a veces no aparece la factorización?
Porque solo existe con factores sencillos cuando las raíces son enteras o fracciones simples. Si las raíces son irracionales (como 1 ± √2) o complejas, la factorización con números reales no es posible y se omite.