Cómo calcular el MCM y el MCD
Dos siglas que se confunden y un solo método que las resuelve a la vez: la descomposición en factores primos. Aquí está con 12 y 18, y la comprobación que nunca falla.
MCD y MCM: los dos primos de los divisores
El MCD (máximo común divisor) es el mayor número que divide exactamente a dos (o más) números: sirve para simplificar fracciones y repartir en grupos iguales lo más grandes posibles. El MCM (mínimo común múltiplo) es el menor número que es múltiplo de ambos: sirve para sumar fracciones con denominadores distintos y para problemas de coincidencias (dos autobuses que vuelven a salir juntos). El método limpio para ambos es la descomposición en factores primos.
La fórmula
Descompón cada número en primos. MCD = producto de los factores comunes con el menor exponente. MCM = producto de todos los factores con el mayor exponente. Atajo de dos números: MCM = (a × b) ÷ MCD.
Paso a paso
- Descompón cada número en factores primos (12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3²).
- Para el MCD: quédate con los primos que aparecen en todos, con el exponente menor, y multiplícalos.
- Para el MCM: quédate con todos los primos que aparecen, con el exponente mayor, y multiplícalos.
- Comprobación con dos números: MCD × MCM debe ser igual a a × b.
Ejemplo con números
Caso: los números 12 y 18 (12 = 2² × 3 · 18 = 2 × 3²).
| Concepto | Cálculo | Importe |
|---|---|---|
| MCD(12, 18) | Comunes con menor exponente: 2¹ × 3¹ | 6 |
| MCM(12, 18) | Todos con mayor exponente: 2² × 3² | 36 |
| Comprobación | MCD × MCM = 6 × 36 = 216 = 12 × 18 | ✓ cuadra |
| Otro: MCD(8, 12) | 8 = 2³ · 12 = 2² × 3 → comunes: 2² | 4 |
Usos inmediatos: para simplificar 12/18 divides entre su MCD (6) y queda 2/3; para sumar 1/12 + 1/18 usas su MCM (36) como denominador común.
Errores comunes
- Intercambiar las reglas: en el MCD van los comunes con el menor exponente; en el MCM, todos con el mayor.
- En el MCD, incluir un primo que solo está en un número: "común" significa en todos.
- Descomponer mal un número (12 = 2 × 6 y parar ahí): hay que llegar hasta primos (2² × 3).
- Olvidar el atajo de comprobación MCD × MCM = a × b: caza errores en segundos (solo con dos números).
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Preguntas frecuentes
¿MCD o MCM para repartir sin que sobre?
MCD: buscas el grupo más grande que divide todo en partes iguales (repartir 12 manzanas y 18 peras en bolsas idénticas: 6 bolsas). Para coincidencias en el tiempo (cada 12 y cada 18 minutos), MCM.
¿Funciona con tres números?
Sí: el método de primos es idéntico (comunes a los tres para el MCD; todos para el MCM). Lo que no funciona con tres es el atajo MCD × MCM = a × b, que es solo para dos.
¿Cómo descompongo un número grande?
Divide sucesivamente entre los primos pequeños (2, 3, 5, 7, 11...) mientras sea exacto: 360 = 36 × 10 = 2³ × 3² × 5, por ejemplo.